HÌNH HỌC
DỰNG HÌNH
Như chúng ta đã biết, toán học là một
môn khoa học cơ bản trong đời sống, một trong những lĩnh vực được nghiên cứu
với nhiều ứng dụng đặc biệt trong xây dựng như: Cầu, cống, nhà cao tầng, kim tự
tháp và đặc biệt ngày nay có những công trình kiến trúc đặc sắc như: Nhà đa
giác, nhà có hình con ốc,…Tất cả những công trình đó đều được dựa trên nền tảng
là hình học dựng hình. Vậy hình học dựng hình được hình thành và phát triển như
thế nào, các bước giải một bài toán dựng hình ra sao? Muốn dựng hình thì chúng ta cần những dụng cụ
cơ bản nào? Chuyên đề này sẽ trả lời những câu hỏi đó.
I.VÀI NÉT VỀ
LỊCH SỬ HÌNH HỌC DỰNG HÌNH
Vào
các thế kỉ thứ 4, 5 trước công nguyên, các nhà toán học Hy Lạp nổi
tiếng đã quan
tâm đến dựng hình hình học như Pitago, Hypocrat,
Ơclit, Acsimet, Apoloniut. Trường phái Pitago đã thành công trong một số
bài toán tương đối phức tạp như dựng ngũ giác đều. Vào thế kĩ thứ
5 TCN có 3 bài toán nổi tiếng: Chia 3 một góc, gấp đôi 1 hình lập
phương và cầu phương hình tròn (không giải được bằng thước và compa).
Đến thế kỉ 4 TCN, các nhà toán học Hy Lạp đã khảo sát quá
trình giải một bài toán dựng hình với 4 bước: Phân tích, cách dựng,
chứng minh, biện luận được sử dụng cho đến ngày nay.
300 năm TCN, Ơclit người sáng lập hệ hình học đầu tiên đã nêu
lên những tiền đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏ vai trò của
dựng hình trong toán học như:
- Có thể vạch một đường thẳng từ một điểm
tới một điểm khác.
- Có thể liên tục kéo dài một đường thẳng bị
giới hạn.
- Với mỗi một tâm và mỗi một khoảng, có thể
vạch được một đường tròn.
Các nhà hình học cổ Hy Lạp đã giải được những bài toán dựng
hình khó nhất bằng thước và com-pa, chẳng hạn Apoloni Pecxki đã giải
được bài toán nổi tiếng mang tên ông:” dựng một đường tròn tiếp xúc
với 3 đường tròn cho trước”, Họ lại gắn đại số với dựng hình như
giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai bằng dựng hình.
Từ
thế kỉ 16 đến nay lí thuyết về dựng hình đã tiến xa hơn và đang
phát triển một cách
căn bản dựa vào sự thành lập những phân khoa toán
học mới: hình học giải tích, hình học xạ ảnh, lý thuyết phương
trình đại số, lý thuyết về hàm số giải tích, về số đại số và số
siêu việt.
Những người sáng lập ra toán học hiện đại đã quan tâm nhiều
về các bài toán dựng hình. Đề-cac và Niuton đã giải bài toán chia 3
một góc bằng các thiết diện hình nón, giải được bài toán Apoloni
cùng với Ơle (lời giải bài toán này đã bị thất lạc), phải chờ đến
thế kỉ 17 mới có nhà toán học Viet giải lại được).
Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học đã dựa vào phép dựng
hình đặc biệt đối với cách chứng minh sự tồn tại, chẳng hạn sự
tồn tại tâm của một đường tròn nội tiếp trong tam giác, sự tồn tại
của những tam giác đồng dạng, sự tồn tại của những đường thẳng song
song… đều được chứng minh bằng phép dựng hình.
II.Tại sao
dựng hình lại chỉ dùng 2 công cụ là thước và compa
Để biết được điều này, trước hết chúng ta cần phải
biết:
1.
Giải một bài toán dựng hình là gì?
Giải một
bài toán dựng hình là tìm được một hình thỏa mãn những điều kiện
trong bài toán, nói như thế chưa đủ vì điều quan trọng là dùng những
dụng cụ gì để dựng hình.
Ví dụ với bài toán dựng một góc bằng 200, lấy một tia cho trước làm cạnh rồi
dựng góc 20 độ, nếu dùng thước đo góc thì bài toán rất đơn giản,
nhưng nếu chỉ dùng thước và compa thì bài toán này không giải được
(người ta đã chứng minh được chỉ dùng thước và compa thì không thể
dựng được góc 200)
Ví dụ khác: dựng một ngũ giác đều nội tiếp
trong một đường tròn, nếu dùng thước đo góc thì thật dễ dàng chỉ
việc chia góc ở tâm làm 5 phần bằng nhau (360:5=72) mỗi góc 720
này chắn một cung bằng 1/5 đường tròn.
2.
Tại sao chỉ dùng thước và compa?
Các nhà
toán học cổ Hi lạp chỉ xem phép dựng hình dùng thước và compa là
hợp pháp, có tính chất hình học chân chính và không công nhận việc
sử dụng các dụng cụ khác để dựng hình, quan niệm đó vẫn tồn tại
cho đến ngày nay. Họ cũng đã thành công trong việc giải những bài
toán dựng hình khó nhất bằng thước và compa, họ coi thước kẻ là vô
hạn vì chỉ có một cạnh, coi compa có tính chất dùng để vẽ những đường
tròn có bán kính tùy ý.
Cơ sở lí luận của hình học dựng hình là
những tiên đề sau đây:
- Tiên đề chung:
Tiên đề 1:
tất cả dữ kiện trong bài toán dựng hình (điểm, đường thẳng, đường
tròn…) đều coi như là dựng được.
Tiên đề 2:
những điểm lấy tùy ý trong mặt phẳng (để bổ sung các dữ kiện) đều
coi như là dựng được
Tiên đề 3:
nếu 2 đường thẳng dựng được mà cắt nhau thì giao điểm của chúng coi
như là dựng được.
Tiên đề 4
có tên gọi là tiên đề về cái thước: một đường thẳng xác định bởi 2
điểm dựng được thì coi như dựng được.
Tiên đề 5:
có tên gọi là tiên đề về cái compa: một đường tròn xác định bởi
một tâm dựng được, một bán kính dựng được thì coi như dựng được.
Hai tiên đề 4 và 5 biểu thị dưới hình thức trừu tượng về cái
thước và cái compa theo 2 tiên đề này thì muốn thực hiện một phép
dựng hình bằng thước và compa thì phải có ít nhất 2 điểm nhưng
nhiều khi trong đề bài chỉ có 1 điểm hoặc không có điểm nào cả.
Chẳng hạn:
-
Cho một đường
thẳng và một điểm trên đó, dựng tại điểm đó đường vuông góc với đường thẳng. Ở
đây chỉ có một điểm cho trước tức là dựng được.
-
Cho 2 đường thẳng
giao nhau. Dựng phân giác của góc tạo thành. Ở đây chỉ có 1 điểm dựng được
(theo tiên đề 3).
-
Cho một đường
tròn. Dựng tâm của nó. Ở đây không có điểm dựng được nào cả.
Tóm lại, giải một bài toán dựng hình bằng thước và compa là chỉ
rõ thứ tự áp dụng các tiên đề 1, 2, 3, 4, 5 ở trên để đưa những tiên đề chưa
biết về những yếu tố dựng được.
Ví dụ bài toán dựng hình sau: Qua 1 điểm A ở ngoài một đường thẳng d dựng đường thẳng song song với
d.
Cách giải
như sau:
(1) Chọn một điểm M tùy ý trên d (theo tiên đề 2) và dựng
đường tròn tâm M bán kính MA(theo tiên đề 5).
(2) Dựng đường tròn tâm A bán kính AM (theo tiên đề 5).
(3) Lấy giao điểm B của đường tròn thứ nhất với đường
thẳng d (theo tiên đề 3).
(4) Dựng đường tròn tâm M bán kính BA cắt đường tròn thứ 2
tại P (theo tiên đề 5).
(5) Kẻ đường thẳng qua A và P (theo tiên đề 4).
Tóm lại, giải bài toán dựng hình trên đòi hỏi phải lần
lượt áp dụng các tiên đề 2, 3, 4, 5 ( dĩ nhiên trước hết bao giờ cũng dùng tiên
đề 1)
Tuy nhiên, nhiều khi người ta không nêu
hai tiên đề 1,2 mà phát biểu gọn như sau:
(1) Kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm đã biết ( tiên đề về cái
thước)
(2) Dựng đường tròn có tâm đã biết và bán kính đã biết
(tiên đề về cái compa)
(3) Lấy giao điểm của 2 đường đã biết (tiên đề 3).
3.
Dựng hình bằng các dụng cụ khác.
Nếu không
dùng thước và compa mà dùng những dụng cụ khác để dựng như: thước thẳng có 2
biên, êke thì ta vẫn dùng 3 tiên đề 1,2 ,3 còn 2 tiên đề 4, 5 được thay bằng
những tiên đề phản ánh tính chất của những dụng cụ mới.
4.
Giá trị lí luận và thực tế của các dụng cụ dựng hình.
Bốn dụng
cụ: compa, thước, thước 2 biên và êke đều quan trọng như nhau về giái trị lí luận
chặt chẻ, chính xác và giá trị thực tế của chúng trong đời sống và sản xuất.
Năm 1787 nhà khoa học Ý Maxkêrôni đã chứng minh rằng:
Bất kì bài toán nào có thể giải được bằng thước và compa đều có thể giải được
bằng 1 mình compa thôi.
Năm 1890 A đơ le đã chứng minh rằng: Bất kì bài toán
nào có thể giải được bằng thước và compa đều có thể giải được bằng 1 cái thước
2 biên hoặc bằng êke.
Trong thực tế kinh nghiệm cho thấy rằng 3 dụng cụ: compa,
thước và êke là những dụng cụ cần thiết và tiện lợi nhất cho người vẽ.
III. Các
bước giải một bài toán dựng hình
Ngay từ
thế kỷ thứ 4 TCN, các nhà hình học cổ Hi lạp đã tìm ra đường lối chung để giải
một bài toán đựng hình gồm 4 bước: Phân tích, dựng hình, chứng minh và biện
luận.
1. Bước phân
tích
Phân tích là bước quan trọng nhất giúp lập phương án
dựng để tìm ra lời giải của bài toán trên cơ sở xác định được mối quan hệ giữa
các yếu tố đã cho và các yếu tố phải tìm ( giống như khi ta giải bài toán đại
số ta chọn ẩn biểu thị bằng chữ x chẳng hạn rồi lập mối liên hệ giữa a với các
đại lượng đã cho của bài toán, từ đó mà lập được phương trình). Như thế trước
hết phải vẽ 1 hình tương ứng với hình phải dựng( tức là giả sử hình vẽ đã dựng
được thỏa mãn diều kiện của bài toán). Qua hình vẽ phát hiện những yếu tố cho
trước và những yếu tố phải dựng. Vậy bước phân tích liên quan tới hình vẽ ban
đầu, do đó hình vẽ để phân tích phải được vẽ cẩn thận và chính xác.
2. Bước cách
dựng.
Bước này gồm 2 phần
a. Kể theo một thứ tự nhất định tất cả các phép dựng cơ
bản cần thức hiện được suy ra từ bước phân tích.
b. Thực hiện các phép dựng đó bằng các dụng cụ thước và
compa, không phải chỉ thực hiện cách dựng mà còn phải mô tả cách dựng đó.
3. Bước chứng minh.
Sau khi đã
dựng được hình cần phải xác nhận xem nó có thỏa mãn các điều kiện của bài toán
hay không, tức là phải chứng minh rằng hình dựng được thỏa mãn tất cả các điều
kiện của đề bài, cách chứng minh này phụ thuộc vào cách dựng. Nói cách khác nếu
không biết rõ 2 bước phân tích và cách dựng thì không thể nói rằng chứng minh
đúng hay sai, vì có thể có những phương pháp giải bài toán khác nhau và ngay cả
khi đã phân tích giống nhau thì cũng có những cách khác nhau để thực hiện, tức
là có cách dựng khác nhau. Cũng cần nói thêm rằng nếu cách dựng đã rõ ràng thì
bước chứng minh cũng đơn giản.
4. Bước biện
luận
Khi giải
bài toán đại số có tham số thường đặt ra câu hỏi: với những yếu tố cho trước
như thế nào thì bài toán giải được không giải được. trong giải toán dựng hình
cũng phải đặt ra câu hỏi như thế, vì mỗi bài toán là một yêu cầu về dựng 1 hình
thõa mãn các điều kiện xác định, các điều kiện này thường được cho bởi các giá
trị và vị trí của 1 số yếu tố của hình đó. Việc giải 1 bài toán dựng hình chỉ
được coi là xong nếu nêu được các điều kiện để lời giải tìm được là đáp án của
bài toán. Một bài toán dựng hình có thể có 1 nghiệm hình, 2 hoặc hơn 2 nghiệm
hình, có vô số nghiệm hình hoặc không có nghiệm hình.
Nếu một bài toán mà các giải thiết đối với yếu tố cho
trước được thu hẹp thì phạm vi các giá trị thích hợp của các yếu tố đó sẽ hẹp
đi và bước biện luận sẽ đơn giản đi.
IV. Bài toán
về kích thước và bài toán về vị trí
1.Những bài toán về kích thước là những bài toán yêu
cầu dựng một hình có vị trí tùy ý, tức là chỉ để ý đến kích thước và hình dạng
của hình mà không để ý đến vị trí của nó trong mặt phẳng.
Ví dụ: “Dựng tam giác biết 2 cạnh và góc xen giữa 2
cạnh đó”. Bài toán này là bài toán về kích thước.
2. Những bài toán về vị trí là những bài toán yêu cầu
dựng một hình mà vị trí của nó không phải là tùy ý, tức là cần biết cả kích
thước, hình dạng của hình và cả vị trí tương đối của nó trên mặt phẳng so với
các yếu tố cho trước.
Ví dụ: “ Dựng đường tròn có bán kính cho trước tiếp
xúc với 1 đường tròn cho trước và một đường thẳng cho trước”. Bài toán này cho
biết hình dạng và kích thước của hình, ngoài ra lại cho biết vị trí của đường
tròn phải dựng đối với đường thẳng và đường tròn cho trước. Bài toán này là bài
toán về vị trí.
3. Đối với bài toán về kích thước thì tất cả các hình
bằng nhau đều được coi là 1 nghiệm hình. Do đó 2 hình bằng nhau bất kỳ dù không
thể trùng nhau sau một số phép dời hình trong mp cũng được coi là 1 nghiệm
hình. Như thế bước biện luận sẽ đơn giản.
Đối với bài toán về vị trí thì 2 hình bất kỳ tìm được
trong khi giải, bằng nhau hoặc không bằng nhau đều được coi là các nghiệm hình
khác nhau.
4. Có những bài toán dựng hình có vô số nghiệm hình.
Chẳng hạn:
BT1: Dựng tam giác tương đương với một đa giác cho
trước ( theo nghĩa có diện tích bằng)
BT2: Dựng tam giác đều có các đỉnh lần lượt nằm trên 3
đường thẳng song song cho trước.
Trong bài toán thứ nhất đó là phép biến đổi tương
đương của tam giác nên sẽ có vô số tam giác tương đương. Nhưng cũng chỉ coi là
có 1 nghiệm hình duy nhất.
Trong bài toán thứ 2 sẽ có vô số tam giác đều suy lẫn
nhau bằng ph\ép tịnh tiến song song với các đường thẳng song song cho trước đó
là 1 nghiệm hình.
V. Toán dựng
hình giải bằng các phương pháp khác nhau
Đứng
trước 1 bài toán dựng hình muốn xác định xem có thể giải bằng phương pháp
nào cần biết những dấu hiệu đặc trưng
nhất của bài toán giải được bằng phương pháp này hay phương pháp khác. Mỗi
phương pháp đều có giá trị riêng của nó. Các phương pháp thường sử dụng là:
Phương pháp tịnh tiến, phương pháp đối xứng trục, phương pháp quay, phương pháp
quỹ tích, phương pháp đồng dạng, phương pháp đại số.
VI. Một số
bài toán dựng hình nổi tiếng.
1. Bài toán
dựng đa giác đều
Ta đã biết cách dựng bằng thước và compa các đa giác
đều sau: tam giác đều, hình vương, ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều,
rồi đến thập giác đều.
Vấn đề đặt
ra: đối với hình n – giác đều thì với những giá trị nào của n mới dựng được
bằng thước và compa.
Năm 1796 nhà toán học vĩ đại người Đức Gau
xơ đã chứng minh rằng: Hình n- giác đều chỉ dựng được bằng thước và compa khi
và chỉ khi n có dạng
trong đó n là số nguyên tố.
Với k = 3 thì n =
là số nguyên tố nên có thể dựng được đa giác đều 257
cạnh với thước và compa.
Với k = 5 thì n =
. Nhà toán học lỗi lạc Ơle đã
nhận xét rằng số n này là hợp số vì chia hết cho 641. Mà số nguyên tố 641 lại
không có dạng
nên không thể dựng đa giác đều với cạnh bằng giá trị n
ở trên. Nhà toán học Nga Pecvusin đã chứng minh thêm rằng với k = 12 hoặc k =
23 thì số
cũng là hợp số. Đặc biệt không thể dựng được
hình thất giác (7 cạnh đều) với thước kẻ và compa vì số nguyên tố 7 không có
dạng
.
Sau khi Gau xơ mất, để tưởng nhớ ông người ta đã xây
cái bệ đặt trên bia mộ của ông có hình 17 cạnh đều là hình có thể dựng được
bằng thước và compa.
2. Ba bài
toán cổ Hi lạp nổi tiếng.
Thời cổ Hi Lạp có 3 bài toán dựng hình nổi tiếng không
thể giải được bằng thước và compa. Đó là:
-
Cầu phương hình
tròn
-
Gấp đôi hình lập
phương
-
Chia 3 một góc.
Bài toán 1:
Cầu phương hình tròn
Nội dung bài toán là: “Tìm một đoạn thẳng x sao cho
diện tích hình vuông cạnh x bằng diện tích hình tròn bán kính r, tức là
”.
Nếu x là cạnh hình vuông thì
. Điều này có nghĩa là nếu có một đoạn thẳng r (bán
kính hình tròn đã cho) thì phải dựng bằng thước và compa một đoạn thẳng khác
bằng
. Năm 1882 nhà toán học
Linđơnman đã chứng minh rằng
là một số siêu việt, tức là
không thể là nghiệm của bất cứ phương trình đại số nào
có hệ số nguyên.
Từ đó các nhà toán học đã chứng tỏ rằng với đoạn thẳng
r chỉ có thể dùng thước và compa để dựng các đoạn thẳng 2r,
nhưng không thể dựng đoạn thẳng
Vì vậy bài toán này không thể giải được bằng thước và
compa.
Bài toán 2:
Gấp đôi hình lập phương
Nội dung bài toán như sau: “Dựng cạnh của một hình lập
phương có thể tích gấp đôi thể tích của một hình lập phương đã cho”.
Nếu a là cạnh hình lập phương đã cho thì cạnh x của
hình lập phương phải dựng là:
(vì
). Nếu a = 1 thì ta có phương
trình x3 – 2 = 0. Phương trình này không có nghiệm hữu tỷ nên bài
toán Gấp đôi hình lập phương không thể giải được bằng thước và compa.
Bài toán 3:
Chia 3 một góc
Nội dung bài toán như sau: “Chia một góc cho trước
thành 3 phần bằng nhau bằng thước và compa”.
Bài toán đặt ra với
là góc nhọn cho trước. Nếu
là góc tù thì
trong đó
sao cho
và bài toán chia ba góc tù
đưa về bài toán chia ba góc nhọn
. Nếu
thì bài toán được giải quyết dễ dàng bằng cách dựng
tam giác đều, nhưng với
nhọn thì không thể giải được bằng thước và
compa.