HÌNH HỌC DỰNG HÌNH

Như chúng ta đã biết, toán học là một môn khoa học cơ bản trong đời sống, một trong những lĩnh vực được nghiên cứu với nhiều ứng dụng đặc biệt trong xây dựng như: Cầu, cống, nhà cao tầng, kim tự tháp và đặc biệt ngày nay có những công trình kiến trúc đặc sắc như: Nhà đa giác, nhà có hình con ốc,…Tất cả những công trình đó đều được dựa trên nền tảng là hình học dựng hình. Vậy hình học dựng hình được hình thành và phát triển như thế nào, các bước giải một bài toán dựng hình ra sao?  Muốn dựng hình thì chúng ta cần những dụng cụ cơ bản nào? Chuyên đề này sẽ trả lời những câu hỏi đó.

I.VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ HÌNH HỌC DỰNG HÌNH

         Vào các thế kỉ thứ 4, 5 trước công nguyên, các nhà toán học Hy Lạp nổi tiếng đã quan

tâm đến dựng hình hình học như Pitago, Hypocrat, Ơclit, Acsimet, Apoloniut. Trường phái Pitago đã thành công trong một số bài toán tương đối phức tạp như dựng ngũ giác đều. Vào thế kĩ thứ 5 TCN có 3 bài toán nổi tiếng: Chia 3 một góc, gấp đôi 1 hình lập phương và cầu phương hình tròn (không giải được bằng thước và compa).

   Đến thế kỉ 4 TCN, các nhà toán học Hy Lạp đã khảo sát quá trình giải một bài toán dựng hình với 4 bước: Phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận được sử dụng cho đến ngày nay.

   300 năm TCN, Ơclit người sáng lập hệ hình học đầu tiên đã nêu lên những tiền đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏ vai trò của dựng hình trong toán học như:

- Có thể vạch một đường thẳng từ một điểm tới một điểm khác.

- Có thể liên tục kéo dài một đường thẳng bị giới hạn.

- Với mỗi một tâm và mỗi một khoảng, có thể vạch được một đường tròn.

   Các nhà hình học cổ Hy Lạp đã giải được những bài toán dựng hình khó nhất bằng thước và com-pa, chẳng hạn Apoloni Pecxki đã giải được bài toán nổi tiếng mang tên ông:” dựng một đường tròn tiếp xúc với 3 đường tròn cho trước”, Họ lại gắn đại số với dựng hình như giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai bằng dựng hình.

         Từ thế kỉ 16 đến nay lí thuyết về dựng hình đã tiến xa hơn và đang phát triển một cách

căn bản dựa vào sự thành lập những phân khoa toán học mới: hình học giải tích, hình học xạ ảnh, lý thuyết phương trình đại số, lý thuyết về hàm số giải tích, về số đại số và số siêu việt.

   Những người sáng lập ra toán học hiện đại đã quan tâm nhiều về các bài toán dựng hình. Đề-cac và Niuton đã giải bài toán chia 3 một góc bằng các thiết diện hình nón, giải được bài toán Apoloni cùng với Ơle (lời giải bài toán này đã bị thất lạc), phải chờ đến thế kỉ 17 mới có nhà toán học Viet giải lại được).

   Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học đã dựa vào phép dựng hình đặc biệt đối với cách chứng minh sự tồn tại, chẳng hạn sự tồn tại tâm của một đường tròn nội tiếp trong tam giác, sự tồn tại của những tam giác đồng dạng, sự tồn tại của những đường thẳng song song… đều được chứng minh bằng phép dựng hình.

II.Tại sao dựng hình lại chỉ dùng 2 công cụ là thước và compa

Để biết được điều này, trước hết chúng ta cần phải biết:

1.     Giải một bài toán dựng hình là gì?

      Giải một bài toán dựng hình là tìm được một hình thỏa mãn những điều kiện trong bài toán, nói như thế chưa đủ vì điều quan trọng là dùng những dụng cụ gì để dựng hình.

Ví dụ với bài toán dựng một góc bằng 20⁰,  lấy một tia cho trước làm cạnh rồi dựng góc 20 độ, nếu dùng thước đo góc thì bài toán rất đơn giản, nhưng nếu chỉ dùng thước và compa thì bài toán này không giải được (người ta đã chứng minh được chỉ dùng thước và compa thì không thể dựng được góc 20⁰)

Ví dụ khác: dựng một ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn, nếu dùng thước đo góc thì thật dễ dàng chỉ việc chia góc ở tâm làm 5 phần bằng nhau (360:5=72) mỗi góc 72⁰ này chắn một cung bằng 1/5 đường tròn.

2.     Tại sao chỉ dùng thước và compa?

     Các nhà toán học cổ Hi lạp chỉ xem phép dựng hình dùng thước và compa là hợp pháp, có tính chất hình học chân chính và không công nhận việc sử dụng các dụng cụ khác để dựng hình, quan niệm đó vẫn tồn tại cho đến ngày nay. Họ cũng đã thành công trong việc giải những bài toán dựng hình khó nhất bằng thước và compa, họ coi thước kẻ là vô hạn vì chỉ có một cạnh, coi compa có tính chất dùng để vẽ những đường tròn có bán kính tùy ý.

Cơ sở lí luận của hình học dựng hình là những tiên đề sau đây:

- Tiên đề chung:

Tiên đề 1: tất cả dữ kiện trong bài toán dựng hình (điểm, đường thẳng, đường tròn…) đều coi như là dựng được.

Tiên đề 2: những điểm lấy tùy ý trong mặt phẳng (để bổ sung các dữ kiện) đều coi như là dựng được

Tiên đề 3: nếu 2 đường thẳng dựng được mà cắt nhau thì giao điểm của chúng coi như là dựng được.

Tiên đề 4 có tên gọi là tiên đề về cái thước: một đường thẳng xác định bởi 2 điểm dựng được thì coi như dựng được.

Tiên đề 5: có tên gọi là tiên đề về cái compa: một đường tròn xác định bởi một tâm dựng được, một bán kính dựng được thì coi như dựng được.

    Hai tiên đề 4 và 5 biểu thị dưới hình thức trừu tượng về cái thước và cái compa theo 2 tiên đề này thì muốn thực hiện một phép dựng hình bằng thước và compa thì phải có ít nhất 2 điểm nhưng nhiều khi trong đề bài chỉ có 1 điểm hoặc không có điểm nào cả.

Chẳng hạn:

-         Cho một đường thẳng và một điểm trên đó, dựng tại điểm đó đường vuông góc với đường thẳng. Ở đây chỉ có một điểm cho trước tức là dựng được.

-         Cho 2 đường thẳng giao nhau. Dựng phân giác của góc tạo thành. Ở đây chỉ có 1 điểm dựng được (theo tiên đề 3).

-         Cho một đường tròn. Dựng tâm của nó. Ở đây không có điểm dựng được nào cả.

Tóm lại, giải một bài toán dựng hình bằng thước và compa là chỉ rõ thứ tự áp dụng các tiên đề 1, 2, 3, 4, 5 ở trên để đưa những tiên đề chưa biết về những yếu tố dựng được.

Ví dụ bài toán dựng hình sau: Qua 1 điểm A ở ngoài một đường thẳng d dựng đường thẳng song song với d.

Cách giải như sau:

(1)   Chọn một điểm M tùy ý trên d (theo tiên đề 2) và dựng đường tròn tâm M bán kính MA(theo tiên đề 5).

(2)   Dựng đường tròn tâm A bán kính AM (theo tiên đề 5).

(3)   Lấy giao điểm B của đường tròn thứ nhất với đường thẳng d (theo tiên đề 3).

(4)   Dựng đường tròn tâm M bán kính BA cắt đường tròn thứ 2 tại P (theo tiên đề 5).

(5)   Kẻ đường thẳng qua A và P (theo tiên đề 4).

Tóm lại, giải bài toán dựng hình trên đòi hỏi phải lần lượt áp dụng các tiên đề 2, 3, 4, 5 ( dĩ nhiên trước hết bao giờ cũng dùng tiên đề 1)

      Tuy nhiên, nhiều khi người ta không nêu hai tiên đề 1,2 mà phát biểu gọn như sau:

(1)   Kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm đã biết ( tiên đề về cái thước)

(2)   Dựng đường tròn có tâm đã biết và bán kính đã biết (tiên đề về cái compa)

(3)   Lấy giao điểm của 2 đường đã biết (tiên đề 3).

3.     Dựng hình bằng các dụng cụ khác.

      Nếu không dùng thước và compa mà dùng những dụng cụ khác để dựng như: thước thẳng có 2 biên, êke thì ta vẫn dùng 3 tiên đề 1,2 ,3 còn 2 tiên đề 4, 5 được thay bằng những tiên đề phản ánh tính chất của những dụng cụ mới.

4.     Giá trị lí luận và thực tế của các dụng cụ dựng hình.

     Bốn dụng cụ: compa, thước, thước 2 biên và êke đều quan trọng như nhau về giái trị lí luận chặt chẻ, chính xác và giá trị thực tế của chúng trong đời sống và sản xuất.

Năm 1787 nhà khoa học Ý Maxkêrôni đã chứng minh rằng: Bất kì bài toán nào có thể giải được bằng thước và compa đều có thể giải được bằng 1 mình compa thôi.

Năm 1890 A đơ le đã chứng minh rằng: Bất kì bài toán nào có thể giải được bằng thước và compa đều có thể giải được bằng 1 cái thước 2 biên hoặc bằng êke.

Trong thực tế kinh nghiệm cho thấy rằng 3 dụng cụ: compa, thước và êke là những dụng cụ cần thiết và tiện lợi nhất cho người vẽ.

III. Các bước giải một bài toán dựng hình

      Ngay từ thế kỷ thứ 4 TCN, các nhà hình học cổ Hi lạp đã tìm ra đường lối chung để giải một bài toán đựng hình gồm 4 bước: Phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận.

1. Bước phân tích

Phân tích là bước quan trọng nhất giúp lập phương án dựng để tìm ra lời giải của bài toán trên cơ sở xác định được mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố phải tìm ( giống như khi ta giải bài toán đại số ta chọn ẩn biểu thị bằng chữ x chẳng hạn rồi lập mối liên hệ giữa a với các đại lượng đã cho của bài toán, từ đó mà lập được phương trình). Như thế trước hết phải vẽ 1 hình tương ứng với hình phải dựng( tức là giả sử hình vẽ đã dựng được thỏa mãn diều kiện của bài toán). Qua hình vẽ phát hiện những yếu tố cho trước và những yếu tố phải dựng. Vậy bước phân tích liên quan tới hình vẽ ban đầu, do đó hình vẽ để phân tích phải được vẽ cẩn thận và chính xác.

2. Bước cách dựng.

Bước này gồm 2 phần

a.     Kể theo một thứ tự nhất định tất cả các phép dựng cơ bản cần thức hiện được suy ra từ bước phân tích.

b.     Thực hiện các phép dựng đó bằng các dụng cụ thước và compa, không phải chỉ thực hiện cách dựng mà còn phải mô tả cách dựng đó.

      3. Bước chứng minh.

     Sau khi đã dựng được hình cần phải xác nhận xem nó có thỏa mãn các điều kiện của bài toán hay không, tức là phải chứng minh rằng hình dựng được thỏa mãn tất cả các điều kiện của đề bài, cách chứng minh này phụ thuộc vào cách dựng. Nói cách khác nếu không biết rõ 2 bước phân tích và cách dựng thì không thể nói rằng chứng minh đúng hay sai, vì có thể có những phương pháp giải bài toán khác nhau và ngay cả khi đã phân tích giống nhau thì cũng có những cách khác nhau để thực hiện, tức là có cách dựng khác nhau. Cũng cần nói thêm rằng nếu cách dựng đã rõ ràng thì bước chứng minh cũng đơn giản.

4. Bước biện luận

      Khi giải bài toán đại số có tham số thường đặt ra câu hỏi: với những yếu tố cho trước như thế nào thì bài toán giải được không giải được. trong giải toán dựng hình cũng phải đặt ra câu hỏi như thế, vì mỗi bài toán là một yêu cầu về dựng 1 hình thõa mãn các điều kiện xác định, các điều kiện này thường được cho bởi các giá trị và vị trí của 1 số yếu tố của hình đó. Việc giải 1 bài toán dựng hình chỉ được coi là xong nếu nêu được các điều kiện để lời giải tìm được là đáp án của bài toán. Một bài toán dựng hình có thể có 1 nghiệm hình, 2 hoặc hơn 2 nghiệm hình, có vô số nghiệm hình hoặc không có nghiệm hình.

Nếu một bài toán mà các giải thiết đối với yếu tố cho trước được thu hẹp thì phạm vi các giá trị thích hợp của các yếu tố đó sẽ hẹp đi và bước biện luận sẽ đơn giản đi.

IV. Bài toán về kích thước và bài toán về vị trí

1.Những bài toán về kích thước là những bài toán yêu cầu dựng một hình có vị trí tùy ý, tức là chỉ để ý đến kích thước và hình dạng của hình mà không để ý đến vị trí của nó trong mặt phẳng.

Ví dụ: “Dựng tam giác biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh đó”. Bài toán này là bài toán về kích thước.

2. Những bài toán về vị trí là những bài toán yêu cầu dựng một hình mà vị trí của nó không phải là tùy ý, tức là cần biết cả kích thước, hình dạng của hình và cả vị trí tương đối của nó trên mặt phẳng so với các yếu tố cho trước.

Ví dụ: “ Dựng đường tròn có bán kính cho trước tiếp xúc với 1 đường tròn cho trước và một đường thẳng cho trước”. Bài toán này cho biết hình dạng và kích thước của hình, ngoài ra lại cho biết vị trí của đường tròn phải dựng đối với đường thẳng và đường tròn cho trước. Bài toán này là bài toán về vị trí.

3. Đối với bài toán về kích thước thì tất cả các hình bằng nhau đều được coi là 1 nghiệm hình. Do đó 2 hình bằng nhau bất kỳ dù không thể trùng nhau sau một số phép dời hình trong mp cũng được coi là 1 nghiệm hình. Như thế bước biện luận sẽ đơn giản.

Đối với bài toán về vị trí thì 2 hình bất kỳ tìm được trong khi giải, bằng nhau hoặc không bằng nhau đều được coi là các nghiệm hình khác nhau.

4. Có những bài toán dựng hình có vô số nghiệm hình.

Chẳng hạn:

BT1: Dựng tam giác tương đương với một đa giác cho trước ( theo nghĩa có diện tích bằng)

BT2: Dựng tam giác đều có các đỉnh lần lượt nằm trên 3 đường thẳng song song cho trước.

Trong bài toán thứ nhất đó là phép biến đổi tương đương của tam giác nên sẽ có vô số tam giác tương đương. Nhưng cũng chỉ coi là có 1 nghiệm hình duy nhất.

Trong bài toán thứ 2 sẽ có vô số tam giác đều suy lẫn nhau bằng ph\ép tịnh tiến song song với các đường thẳng song song cho trước đó là 1 nghiệm hình.

V. Toán dựng hình giải bằng các phương pháp khác nhau

       Đứng trước 1 bài toán dựng hình muốn xác định xem có thể giải bằng phương pháp nào  cần biết những dấu hiệu đặc trưng nhất của bài toán giải được bằng phương pháp này hay phương pháp khác. Mỗi phương pháp đều có giá trị riêng của nó. Các phương pháp thường sử dụng là: Phương pháp tịnh tiến, phương pháp đối xứng trục, phương pháp quay, phương pháp quỹ tích, phương pháp đồng dạng, phương pháp đại số.

VI. Một số bài toán dựng hình nổi tiếng.

1. Bài toán dựng đa giác đều

Ta đã biết cách dựng bằng thước và compa các đa giác đều sau: tam giác đều, hình vương, ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều, rồi đến thập giác đều.

     Vấn đề đặt ra: đối với hình n – giác đều thì với những giá trị nào của n mới dựng được bằng thước và compa.

      Năm 1796 nhà toán học vĩ đại người Đức Gau xơ đã chứng minh rằng: Hình n- giác đều chỉ dựng được bằng thước và compa khi và chỉ khi n có dạng   trong đó n là số nguyên tố.

Với k = 3 thì n =  là số nguyên tố nên có thể dựng được đa giác đều 257 cạnh với thước và compa.

Với k = 5 thì n = . Nhà toán học lỗi lạc Ơle đã nhận xét rằng số n này là hợp số vì chia hết cho 641. Mà số nguyên tố 641 lại không có dạng  nên không thể dựng đa giác đều với cạnh bằng giá trị n ở trên. Nhà toán học Nga Pecvusin đã chứng minh thêm rằng với k = 12 hoặc k = 23 thì số  cũng là hợp số. Đặc biệt không thể dựng được hình thất giác (7 cạnh đều) với thước kẻ và compa vì số nguyên tố 7 không có dạng .

Sau khi Gau xơ mất, để tưởng nhớ ông người ta đã xây cái bệ đặt trên bia mộ của ông có hình 17 cạnh đều là hình có thể dựng được bằng thước và compa.

2. Ba bài toán cổ Hi lạp nổi tiếng.

Thời cổ Hi Lạp có 3 bài toán dựng hình nổi tiếng không thể giải được bằng thước và compa. Đó là:

-         Cầu phương hình tròn

-         Gấp đôi hình lập phương

-         Chia 3 một góc.

Bài toán 1: Cầu phương hình tròn

Nội dung bài toán là: “Tìm một đoạn thẳng x sao cho diện tích hình vuông cạnh x bằng diện tích hình tròn bán kính r, tức là  ”.

Nếu x là cạnh hình vuông thì  . Điều này có nghĩa là nếu có một đoạn thẳng r (bán kính hình tròn đã cho) thì phải dựng bằng thước và compa một đoạn thẳng khác bằng . Năm 1882 nhà toán học Linđơnman đã chứng minh rằng  là một số siêu việt, tức là  không thể là nghiệm của bất cứ phương trình đại số nào có hệ số nguyên.

Từ đó các nhà toán học đã chứng tỏ rằng với đoạn thẳng r chỉ có thể dùng thước và compa để dựng các đoạn thẳng 2r,  nhưng không thể dựng đoạn thẳng  Vì vậy bài toán này không thể giải được bằng thước và compa.

Bài toán 2: Gấp đôi hình lập phương

Nội dung bài toán như sau: “Dựng cạnh của một hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của một hình lập phương đã cho”.

Nếu a là cạnh hình lập phương đã cho thì cạnh x của hình lập phương phải dựng là:  (vì ). Nếu a = 1 thì ta có phương trình x³ – 2 = 0. Phương trình này không có nghiệm hữu tỷ nên bài toán Gấp đôi hình lập phương không thể giải được bằng thước và compa.

Bài toán 3: Chia 3 một góc

Nội dung bài toán như sau: “Chia một góc cho trước thành 3 phần bằng nhau bằng thước và compa”.

Bài toán đặt ra với  là góc nhọn cho trước. Nếu  là góc tù thì  trong đó  sao cho  và bài toán chia ba góc tù  đưa về bài toán chia ba góc nhọn . Nếu  thì bài toán được giải quyết dễ dàng bằng cách dựng tam giác đều, nhưng với  nhọn thì không thể giải được bằng thước và compa.